Question

15．方程$\frac{x|x|}{16}$+$\frac{y|y|}{9}$=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x存在零点； 
③函数y=f（x）的值域是R； 
④f（x）的图象不经过第一象限；
其中正确的命题序号为①③④．

Answer 1

分析 先根据题意画出方程$\frac{x|x|}{16}$+$\frac{y|y|}{9}$=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的结论的正确性．

解答 解：根据题意画出方程$\frac{x|x|}{16}$+$\frac{y|y|}{9}$=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．

从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：
①f（x）在R上单调递减；正确．
②由于4f（x）+3x=0即f（x）=-$\frac{3x}{4}$，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y=-$\frac{3x}{4}$没有交点，故函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；不正确．
③函数y=f（x）的值域是R；正确．
④f（x）的图象不经过第一象限，正确．
故答案为：①③④．

点评 本小题主要考查命题的真假判断与应用、函数单调性的应用、圆锥曲线的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．