Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-cos ²x+$\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值，及取最大值时x的值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=$\sqrt{3}$，f（C）=1，若sinB=2sinA，求A，B的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质即可得解函数f（x）的最大值，及取最大值时x的值．
（2）由$f（c）=sin（2c-\frac{π}{6}）=1$，可求$c=\frac{π}{3}$，由正弦定理可得b=2a，利用余弦定理可求a，b，进而利用正弦定理即可得解sinB，sinA，从而可求B，A的值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）$，…（2分）
当：$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$，
即：$x=\frac{π}{3}+kπ（k∈z）$时，f（x）取得最大值为1，…（6分）
（2）∵$f（c）=sin（2c-\frac{π}{6}）=1$，可得2C-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴C=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，由C∈（0，π），可得：$c=\frac{π}{3}$，
又∵sinB=2sinA⇒b=2a，
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC=3，
∴a=1，b=2，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得$B=\frac{π}{2}，A=\frac{π}{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．