Question

13．设函数f（x）=|x+1|+|x-a|．
（1）当a=2时，解不等式：f（x）≥5；
（2）若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜2，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到|x+1|+|x-a|＞|a+1|＜2，解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）|x+1|+|x-2|≥5，
x≤-1时，-x-1-x+2≥5，解得：x≤-2，
-1＜x＜2时，x+1-x+2≥5，无解，x∈∅，
x＞2时，x+1+x-2＞5，解得：x＞3，
∴x∈{x|x≤-2或x≥3}；
（Ⅱ）∵|x+1|+|x-a|＞|（x+1）-（x-a）|=|a+1|，
若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜2，
只需f（x）的最小值|a+1|＜2即可，
由|a+1|＜2，得-2＜a+1＜2，
∴-3＜a＜1．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．