Question

已知函数f（x）=ae^x-

1

2

x²
（1）若f（x）在R上为增函数，求a的取值范围；
（2）若a=1，求证：x＞0时，f（x）＞1+x．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=ae^x-x；从而由增函数知f′（x）=ae^x-x≥0恒成立，从而化为最值问题；
（2）若a=1，f（x）=e^x-

1

2

x²，令h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1，h′（x）=e^x-x-1；h″（x）=e^x-1，从而确定函数的单调性，再证明即可．

解答： 解：（1）f（x）=ae^x-

1

2

x²，f′（x）=ae^x-x；
∵f（x）在R上为增函数，
∴f′（x）=ae^x-x≥0恒成立，
故a≥

x

ex

恒成立；
令F（x）=

x

ex

，则F′（x）=

1-x

ex

，
则F（x）=

x

ex

在x=1处取的最大值，
a≥

1

e

；
故a的取值范围为[

1

e

，+∞）；
（2）证明：若a=1，f（x）=e^x-

1

2

x²，
令h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1，h′（x）=e^x-x-1；
h″（x）=e^x-1，当x＞0时，h″（x）＞0；
故h′（x）=e^x-x-1在（0，+∞）上是增函数，
h′（x）=e^x-x-1＞h′（0）=0；
故h（x）=e^x-

1

2

x²-x-1在（0，+∞）上是增函数，
故h（x）＞h（0）=1-1=0；
故x＞0时，f（x）＞1+x．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法及应用，属于中档题．