Question

20．已知复数z=（cosθ-isinθ）（1+i），则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是（　　）

• A． $θ=\frac{π}{4}$
• B． $θ=\frac{π}{2}$
• C． $θ=\frac{3π}{4}$
• D． $θ=\frac{5π}{4}$

Answer 1

分析 利用复数的运算法则、三角函数求值、纯虚数的定义即可得出．

解答 解：复数z=（cosθ-isinθ）（1+i）=$\sqrt{2}$[cos（-θ）+isin（-θ）]（$cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$$（cos（\frac{π}{4}-θ）+isin（\frac{π}{4}-θ）$），
z为纯虚数?$cos（\frac{π}{4}-θ）$=0，$sin（\frac{π}{4}-θ）$≠0，
经过验证可得：$θ=\frac{3π}{4}$是“z为纯虚数”的一个充分不必要条件．
故选：C．

点评 本题考查了复数的运算法则、三角函数求值、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．