Question

10．对于函数f（x）=a+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$（a∈R）
（1）若a=-1时，证明函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性并说明理由．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，f（x）=-1+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，x∈R．只要证明f（-x）+f（x）=0即可．
（2）函数f（x）在R上单调递减．下面给出证明分析：?x₁＜x₂，则${3}^{{x}_{1}}$$＜{3}^{{x}_{2}}$．只要证明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 （1）证明：a=-1时，f（x）=-1+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，x∈R．
∴f（-x）+f（x）=-2+$\frac{2}{{3}^{-x}+1}$+$\frac{2}{{3}^{x}+1}$=-2+$\frac{2×{3}^{x}}{1+{3}^{x}}+\frac{2}{1+{3}^{x}}$=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
（2）解：函数f（x）在R上单调递减．
下面给出证明：?x₁＜x₂，则${3}^{{x}_{1}}$$＜{3}^{{x}_{2}}$．
则f（x₁）-f（x₂）=a+$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$-$（a+\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上单调递减．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．