Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$的定义域为A，函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（-1≤x≤0）的值域为B．
（1）求A∩B；
（2）若C={x|a≤x≤2a-1}，且C∩B=C，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得：A={x|x≥2}，B={y|1≤y≤2}，由此能求出A∩B．
（2）求出B={y|1≤y≤2}，又C?B，由2a-1＜a，和2a-1≥a两种情况分类讨论能求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x-1）}$的定义域为A，
函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（-1≤x≤0）的值域为B．
∴由题意得：A={x|x≥2}…2分，B={y|1≤y≤2}…4分，
∴A∩B={2}…6分
（2）由（1）知：B={y|1≤y≤2}，又C?B，
①当2a-1＜a，即a＜1时，C=∅，满足题意；
②当2a-1≥a，即a≥1时，
要使C?B，则有$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤2}\end{array}\right.$，
解得1$≤a≤\frac{3}{2}$．
综上，a的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]．…12分

点评 本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．