Question

已知椭圆

x2

16

+

y2

4

=1的弦AB的中点M的坐标为（2，1），求直线AB的方程，并求AB的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，根据椭圆的对称轴，得到该直线的斜率存在，设其方程为y-1=k（x-2），然后联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系，并且借助于中点坐标公式，确定斜率k的值，然后，利用两点间的距离公式或弦长公式，求解AB的长．

解答： 解：当直线AB的斜率不存在时，不成立，
故直线AB的斜率存在，
设其方程为y-1=k（x-2），
联立方程组

x2 16 + y2 4 =1 y=k(x-2)+1

，消去y并整理，得
（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-16=0，
∴x₁+x₂=-

8k(1-2k)

1+4k2

，
∵

x1+x2

2

=2，
∴2k（2k-1）=1+4k²，
∴k=-

1

2

，
∴直线AB的方程：x+2y-4=0．
将k=-

1

2

代人（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-16=0，
得x²-4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（0，

3

2

），B（4，-

1

2

），
∴|AB|=

42+(- 1 2 - 3 2 )2

=2

5

．
∴AB的长2

5

．

点评：本题属于中档题，重点考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、两点间的距离公式等知识，属于高考的热点和重点问题．