Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； 
（2）若0＜a＜1，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0求得x的范围，可得函数的定义域，再化简得f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数；
（2）由f（x）＞0，可得log_a

1+x

1-x

＞

log

1 a

，再由0＜a＜1、函数的定义域、以及对数函数的单调性求出不等式的解集．

解答： 解：（1）函数f（x）是奇函数，证明如下：
由

1+x

1-x

＞0得，（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
则函数的定义域是（-1，1），
且f（-x）=

log

1-x 1+x a

=-

log

1+x 1-x a

=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）由f（x）＞0得，log_a

1+x

1-x

＞

log

1 a

，
因为0＜a＜1，所以

1+x

1-x

＜1，
又-1＜x＜1，所以解得-1＜x＜0，
则x的取值范围（-1，0）．

点评：本题主要考查求对数函数的定义域，对数函数的奇偶性的判断，利用对数函数的单调性解对数不等式，以及分式不等式的解法，属于中档题．