Question

已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y=-

3

x，|

OA

|²+|

OB

|²=

4

3

|

OA

|²•|

OB

|²
是双曲线S的一条渐近线，而且原点O，点A（a，0）和点B（0，-b）使等式成立．
（Ⅰ）求双曲线S的方程；
（Ⅱ）若双曲线S上存在两个点关于直线l：y=kx+4对称，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意可设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，由渐近线方程，可得b=

3

a，由|

OA

|²+|

OB

|²=

4

3

|

OA

|²•|

OB

|²则a²+b²=

4

3

a²b²，解出a²，b²，即可得到双曲线方程；
（Ⅱ）设M，N为S上关于直线l：y=kx+4对称点，设MN：x+ky+n=0，则联立双曲线方程，消去x，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，由中点在已知直线上，得到n=

1-3k2

k

，再代入判别式化简整理，即可解出k的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由直线y=-

3

x是一条渐近线方程，则b=

3

a，
又|

OA

|²+|

OB

|²=

4

3

|

OA

|²•|

OB

|²
则a²+b²=

4

3

a²b²，
解得a²=1，b²=3，
故双曲线S的方程是x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）由双曲线S上存在两个点关于直线l：y=kx+4对称，则k≠0，
设M，N为S上关于直线l：y=kx+4对称点，设MN：x+ky+n=0，
则联立双曲线方程，消去x，得（3k²-1）y²+6kny+3n²-3=0，
y₁+y₂=

6kn

1-3k2

，y₁y₂=

3n2-3

3k2-1

，且3k²-1≠0，
△=36k²n²-4（3n²-3）（3k²-1）＞0，
即k²≠

1

3

，n²+3k²＞1①，
则M，N的中点的纵坐标为

y1+y2

2

=

3kn

1-3k2

，
横坐标为-k•

3kn

1-3k2

-n=

n

3k2-1

，
又中点在直线l上，即有

3kn

1-3k2

=k•

n

3k2-1

+4，
化简得kn+3k²-1=0，即n=

1-3k2

k

，
代入①得（

1-3k2

k

）²+3k²＞1，
化简整理得，12k⁴-7k²+1＞0，
即有k²＞

1

3

或k²＜

1

4

，即k＞

3

3

或k＜-

3

3

或-

1

2

＜k＜

1

2

，且k≠0，
则实数k的取值范围是（-∞，-

3

3

）∪（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

）∪（

3

3

，+∞）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，考查化简整理的运算能力，属于难题．