Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心为坐标原点，经过点P（1，

6

6

），离心率e=

6

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过椭圆C的右焦点F且与椭圆C交于M，N两点的直线l，使得在直线x=

3

2

上可以找到一点B，满足△MNB为正三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，

1 a2 + 1 6b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）问是否存在的问题在圆锥曲线中就先假设存在，分斜率存在于不存在加以讨论，并把直线方程与椭圆方程进行连联立，利用设而不求整体代换进行求解．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心为坐标原点，
经过点P（1，

6

6

），离心率e=

6

3

，
∴

1 a2 + 1 6b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得a2=

3

2

，b²=

1

2

，
∴椭圆方程为

2

3

x2+2y2=1．
（2）设存在满足条件的直线l．
①当直线l垂直于x轴时，由（1）的解答可知|MN|=

2b2

a

=

6

3

，
焦点F到右准线的距离为d=

a2

c

-c=

1

2

，
此时不满足d=

3

2

|MN|．
因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．
②当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) 2x2 3 +2y2=1

，得（6k²+2）x²-12k²x+6k²-3=0，
设M，N两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

6k2-3

6k2+2

．
|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

(1+k2)[( 6k2 3k2+1 )2-4× 6k2-3 6k2+2 ]

=-

6 (k2+1)

3k2+1

．
又设MN的中点为Q，则x_Q=

x1+x2

2

=

3k2

3k2+1

．
当△MNP为正三角形时，直线AB的斜率为k_AB=-

1

k

．
∵x_B=

3

2

，∴|AB|=

1+ 1 k2

|x_B-x_A|=

1+ 1 k2

•（

3

2

-

3k2

3k2+1

）
=

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

．
当△MNB为正三角形时，|AB|=

3

2

|MN|，
即

1+k2 k2

•

3(k2+1)

2(3k2+1)

=

3

2

•

6 (k2+1)

3k2+1

，
解得k²=1，k=±1．
因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

点评：本题考查椭圆的求法，考查分类讨论的思想及把直线方程与圆锥曲线方程进行联立设而不求整体代换的思想，还有对于圆锥曲线中是否存在利用假设的解题方法．