Question

已知半椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（

6

3

，-

3

3

）时，△AGM的面积最大，则半椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由点M（

6

3

，-

3

3

）在半圆上，可求b，然后求出G，H，A，根据已知AGM的面积最大的条件可知，OM⊥AG，
即K_OM•K_AG=-1，代入可求a，进而可求椭圆方程

解答： 解：∵点M（

6

3

，-

3

3

）在半圆上，
∴b=1，
∵G（0，a），H（0，-a），A（-b，0）
而当点M位于（

6

3

，-

3

3

）时，△AGM的面积最大可知，OM⊥AG，
即K_OM•K_AG=-1，
∴-

2

2

•a=-1，
∴a=

2

，b=1
∴c=1，
∴e=

c

a

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题主要考查了椭圆方程的求解，直线的垂直与斜率关系的应用，解题的关键是灵活利用椭圆的性质