Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，过F₁作圆O：x²+y²=

b2

4

的切线，切点为E，延长F₁E交椭圆于点P，若

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  5

  3

• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：判断出E为PF的中点，据椭圆的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF₂的长度及判断出PF₂垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出椭圆的离心率．

解答： 解：∵

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），
∴E为PF₁的中点，∴PF₂=2OE=b
∵E为切点，
∴OE⊥PF₁，
∴PF₂⊥PF₁，
∵PF₁+PF₂=2a
∴PF₁=-PF₂+2a=-b+2a
在Rt△PF₁F′中，PF₁²+PF₂²=F₁F₂²
即b=

2

3

a，
∴c=

a2-b2

=

5

3

a，
∴离心率e=

c

a

=

5

3

．
故选：B．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于基础题．