Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx（a＞1），若对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有

f(x 1)-f(x 2)

x1-x 2

＞-1，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（1，4）
• B、（1，4]
• C、（1，5）
• D、（1，5]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，

f(x 1)-f(x 2)

x1-x 2

＞-1的几何意义为函数曲线上任意两点的割线斜率k＞-1，转化为导数关系即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx（a＞1），
∴函数的导数f′（x）=x-a+

a-1

x

，
若对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有

f(x 1)-f(x 2)

x1-x 2

＞-1，
即割线的斜率k＞-1，
则等价为f′（x）=x-a+

a-1

x

≥-1恒成立，
即x+

a-1

x

≥a-1，
∵a＞1，∴a-1＞0，
则x+

a-1

x

≥2

x• a-1 x

=2

a-1

≥a-1，
即4（a-1）≥（a-1）²，即（a-1）（a-5）≤0，
解得1≤a≤5，
∵a＞1，
∴1＜a≤5，
故选：D

点评：本题主要考查导数的应用，根据函数单调性的几何意义以及斜率的关系，结合导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．