Question

函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，f′（x）＜

1

2

，则不等式f（x²）＜

x2

2

+

1

2

的解集为（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（1，+∞）
• C、（-∞，-1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：构造函数g（x）=f（x）-

1

2

x，根据已知结合导数法，可得g（x）为减函数，进而根据f（1）=1将不等式f（x²）＜

x2

2

+

1

2

化为g（x²）＜g（1），进而x²＞1，解得答案．

解答： 解：设g（x）=f（x）-

1

2

x，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

，
又∵f′（x）＜

1

2

，
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）为减函数，
∴f（x²）＜

x2

2

+

1

2

，
即g（x²）=f（x²）-

x2

2

＜

1

2

=g（1），
∴x²＞1，
解得：x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故选：C

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，构造出函数g（x）=f（x）-

1

2

x，是解答的关键．