Question

设函数y=f（x）为定义在R上的奇函数，f（x+2）=-f（x）．当x∈[-1，0]时，f（x）=f₀（x）=x³．
（1）当x∈[1，3]时，求y=f₁（x）的解析式；
（2）记y=f（x），x∈（4k-1，4k+1]，k∈Z为y=f_k（x），求y=f_k（x）及其反函数y=fk-1（x）的解析式；
（3）定义g（x）=2k+（-1）^kf（x），其中x∈[2k-1，2k+1]，探究方程g（x）-b=0（b＞0）在区间[-2013，2013]上的解的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数解析式的求解及常用方法,反函数

专题：函数的性质及应用

分析：（1）转化为[-1，0]时求解，（2）根据反函数概念求解，（3）运用图象求解，分类讨论．

解答： 解：（1）当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]，
f（x）=-f（-x）=x³，（-1≤x≤1）；
（2）f（x+2）=-f（x），可得．f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
则f（x）的周期为4；
当x∈[1，3]时，x-2∈[-1，1]，有f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³
当x∈[4k-1，4k+1]时，x-4k∈[-1，1]，有f_k（x）=-f（x-4k）=-（x-4k）³．
x-4k=

3	y

，即y=f^-1_k（x）=4k+

3	x

，（-1＜x≤1）
（3）由f（x+2）=-f（x）=f（-x）
可得f（x）的对称轴为x=1，所以f（x）的图象如下：

接下来求解f（x）在[2k-1，2k+1]上的解析式：
①当k为偶数时，2k为其周期，x-2k∈[-1，1]
所以f（x）=f（x-2k）=（x-2k）³
②当k为奇数时，2k-2为其周期，x-（2k-2）∈[1，3]
所以f（x）=f（x-2k）=（x-（2k-2））³=-f（x-2k）=-（x-2k）³，
综上f（x）=（-1）^k（x-2k）³，
g（x）=2k+（x-2k）³，x∈[2k-1，2k+1]，k∈z
所以将y=x³，向右移动2k个单位，再向上移动2k个单位即可得到g（x）的图象；
显然g（x）是连续的递增函数，
∴当0＜b≤g（2013）=2013时，
方程g（x）-b=0在区间[-2013，2013]上有一解，
当b＞2013时，方程g（x）-b=0，在区间[-2013，2013]上无

点评：本题考查了函数的性质，定义，图象运用，属于中档题．