Question

设递增数列满足a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比数列，且对任意n∈N^*，函数f（x）=（a_n+2-a_n+1）x-（a_n-a_n+1）sinx+a_ncosx，满足f′（π）=0，求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由f′（π）=0得到数列是等差数列，由递增数列满足a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比数列求的公差，然后利用等差数列的通项公式和前n项和公式得答案．

解答： 解：∵f′（x）=a_n+2-a_n+1-（a_n-a_n+1）cosx-a_nsinx．
又f′（π）=0，
∴a_n+2-a_n+1+a_n-a_n+1=0．
∴2a_n+1=a_n+a_n+2对任意n∈N^*都成立．
∴数列{a_n}是等差数列，
设公差为d，
∵a₁=1，a₁，a₂，a₅成等比数列，且数列是递增数列，
∴（1+d）²=1+4d，解得d=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n+1．
Sn=n+

n(n-1)×2

2

=n2．

点评：本题考查了函数的导函数，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是中档题．