Question

若α，β是关于x的一元二次方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两根，且|α-β|≤2

2

，求θ的范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,根与系数的关系

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由已知可求得α²+β²=2cos²θ+8cosθ+4，αβ=cos²θ，从而由|α-β|≤2

2

可求得cosθ≤

1

2

，从而可求θ的范围．

解答： 解：若α，β是关于x的一元二次方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两根，
则有：△=4（cosθ+1）²-4cos²θ=4+8cosθ＞0，可得：cosθ＞-

1

2

，
则有：α+β=-

b

a

=-2（cosθ+1）；αβ=cos²θ．
故有（α+β）²=α²+β²+2αβ=4（cosθ+1）²=4cos²θ+8cosθ+4，
故：α²+β²=2cos²θ+8cosθ+4
∵|α-β|≤2

2

，∴（α-β）²≤8，
故α²+β²-2αβ=2cos²θ+8cosθ+4-2cos²θ=8cosθ+4≤8
从而得：cosθ≤

1

2

．
故：-

1

2

＜cosθ≤

1

2

故θ的范围为：[2kπ+

π

3

，2kπ+

2π

3

）∪（2kπ+

4π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，根与系数的关系，属于中档题．