Question

已知y=a-bcos3x（b＞0）的最大值为

3

2

，最小值为-

1

2

，
（Ⅰ）求函数y=-4asin（3bx）的周期、最大值，并求取得最大值时的x之值；
（Ⅱ）求函数y=sin(3bx+

π

6

)单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数的最值,复合三角函数的单调性

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（I）由三角函数的值域，列出方程组，求出a，b，再由正弦函数的值域和周期性，即可得到；
（II）运用正弦函数的单调递减区间，解不等式，即可得到所求区间．

解答： 解：（ I）由已知条件得

a+b= 3 2 a-b=- 1 2

解得

a= 1 2 b=1

∴y=-2sin3x的最小正周期为

2π

3

，其最大值为2，此时3x=2kπ-

π

2

，k∈Z，
即有x=

2kπ

3

-

π

6

，k∈Z；
（II）因为b=1，所以y=sin(3bx+

π

6

)=sin（3x+

π

6

）
由2kπ+

π

2

≤3x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得

2kπ

3

+

π

9

≤x≤

4π

9

+

2kπ

3

，
所以函数的单调递减区间为：[

2kπ

3

+

π

9

，

4π

9

+

2kπ

3

]，k∈Z．

点评：本题考查正弦函数和余弦函数的值域的运用，考查三角函数的周期和单调性，考查运算能力，属于中档题．