Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，其长轴长是短轴长的2倍，右焦点到左顶点的距离为2+

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点（0，m）且倾斜角为

π

4

的直线l与椭圆交于A、B两点，当△AOB（O为原点）的面积最大时，求m的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的几何性质得出a=2，b=1，c=

3

，（2）联立方程组得出：5x²+8mx+4m²-4=0，利用韦达定理得出|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

64m2 25 -4× 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

，原点到直线AB的距离为：d=

|m|

2

，再利用三角形的面积公式运算即可．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，其长轴长是短轴长的2倍，右焦点到左顶点的距离为2+

3

．
∴a=2b，a+c=2+

3

，a²=b²+c²，
解得：a=2，b=1，c=

3

，
∴椭圆的方程为：

x2

4

+y²=1，
（2）设直线l的方程为：y=x+m，代入椭圆的方程得：5x²+8mx+4m²-4=0，
△=64m²-20（4m²-4）＞0，m²＜5
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

64m2 25 -4× 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

，
原点到直线AB的距离为：d=

|m|

2

，
∴△AOB（O为原点）的面积=

1

2

×

4 2

5

5-m2

×

|m|

2

=

2

5

25 4 -(m2- 5 2 )2

，
∴当m²=

5

2

时，即m=±

10

2

，△AOB（O为原点）的面积最大．

点评：本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的运用，属于中档题．