Question

已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2^x-1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（　　）

• A、（3，5）
• B、（3，+∞）
• C、（2，+∞）
• D、（2，4]

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．

解答： 解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（-x+2）=f（x+2），
则函数f（x）关于x=2对称，
则f（x）=f（4-x）．
若x＞2，则4-x＜2，
∵当x＜2时，f（x）=|2^x-1|，
∴当x＞2时，f（x）=f（4-x）=|2^4-x-1|，
则当x≥4时，4-x≤0，2^4-x-1≤0，
此时f（x）=|2^4-x-1|=1-2^4-x=1-16•(

1

2

)x，此时函数递增，
当2＜x≤4时，4-x＞0，2^4-x-1＞0，
此时f（x）=|2^4-x-1|=2^4-x-1=16•(

1

2

)x-1，此时函数递减，
所以函数的递减区间为（2，4]，
故选：D．

点评：本题考查函数单调性，指数函数的图象，根据函数奇偶性得到函数的对称性、函数的解析式是解决本题的关键，考查数形结合思想．