题目内容
已知a，b，c均为正实数，且满足abc=1，证明：
（1）a+b+c≥
+
+
；
（2）a2+b2+c2≥
+
+
．
（1）a+b+c≥
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
（2）a2+b2+c2≥
| a |
| b |
| c |
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用,推理和证明
分析：利用均值不等式，结合abc=1，即可证明结论．
解答：
证明：∵a，b，c∈R+
∴a+b≥2
，b+c≥2
，a+c≥2
∴2a+2b+2c≥2
+2
+2
∴a+b+c≥
+
+
∵abc=1，
∴a+b+c≥
+
+
；
（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
∵ab+bc+ac=
+
+
≥
+
+
=
+
+
，
∴a2+b2+c2≥
+
+
．
∴a+b≥2
| ab |
| bc |
| ac |
∴2a+2b+2c≥2
| ab |
| bc |
| ac |
∴a+b+c≥
| ab |
| bc |
| ac |
∵abc=1，
∴a+b+c≥
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
（2）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
∵ab+bc+ac=
| 1 |
| c |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 |
| ab |
| a |
| b |
| c |
∴a2+b2+c2≥
| a |
| b |
| c |
点评：此题主要考查均值不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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复数
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| 1-i |
| 2-i |
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| A、（3，5） |
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| C、（2，+∞） |
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