Question

已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）+f（x）＞0，当0＜a＜b＜1时，下面选项中最大的一项是（　　）

• A、a^bf（a^b）
• B、b^af（b^a）
• C、log_ab•f（log_ab）
• D、log_ba•f（log_ba）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：通过构造新函数构造函数F（x）=xf（x）得出F（x）在R上是增函数，在a^b，b^a，loga（b），logb（a）中logb（a）最大，从而得出答案．

解答： 解：构造函数F（x）=xf（x）
则F'（x）=xf'（x）+f（x）＞0
即F（x）在R上是增函数，
又由0＜a＜b＜1
知a^b，b^a＜1
而loga（b）＜loga（a）=1
logb（a）＞logb（b）=1
故在a^b，b^a，loga（b），logb（a）中logb（a）最大
故F（logb（a））=logb ^{a•f（logb a）}最大
故选D．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，是一道中档题．