Question

17．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，两组向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$，$\overrightarrow{{x}_{4}}$，$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$，$\overrightarrow{{y}_{4}}$，$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成，记S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{a}$|无关；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{b}$|无关；
④若|$\overrightarrow{b}$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，则S_min＞0．

Answer 1

分析 写出S的所有可能组合，计算它们的值，结合选项进行判断．

解答 解：S共有三种组合方式，分别记作S₁，S₂，S₃，
则S₁=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$=2${\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，
S₂=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}$=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$．
S₃=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$．
当$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$时，S_min=S₂=${\overrightarrow{b}}^{2}$，
当$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$时，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|或-|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|．
当|$\overrightarrow{b}$|＞4|$\overrightarrow{a}$|时，-4${\overrightarrow{a}}^{2}$＜$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＜4${\overrightarrow{a}}^{2}$，${\overrightarrow{b}}^{2}$＞16${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴S₂＞0，S₃＞0，又S₁＞0，
∴S_min＞0．
综上可得②④正确，①③错误．
故答案为：②④．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，组合数公式的应用，属于中档题．