Question

5．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＞2}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）+{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• B． [-1，2]
• C． （-∞，-2]∪[1，+∞）
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．

解答 解：当x＞2时，函数f（x）=2^x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，
当x≤2时，函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{9}{4}$-x）+a²为增函数，则f（x）≤f（2）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{9}{4}$-2）+a²=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$+a²=2+a²，
要使函数f（x）的值域为R，
则4+a≤2+a²，即a²-a-2≥0，
则a≥2或a≤-1，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值域的应用，根据分段函数的单调性判断分段函数在端点处的函数值的大小关系是解决本题的关键．