Question

8．已知定义在R上的函数f（x）=2cosωxsin（$ωx+\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的周期为π．
（1）求ω的值及f（x）的单调增区间；
（2）记g（x）=f（x）+sin（x-$\frac{π}{6}$），求g（x）的值域．

Answer 1

分析 利用两角和差化积公式，将f（x）转换为sin（2ω+π/6）的形式，在利用T=2π/2ω，求出ω的值，求g（x）主要根据诱导公式转换为sin（x-π/6）的形式，
在构造二次函数，求出二次函数的定义域，根据函数的对称性求出函数的最值．

解答 解：由函数$f（x）=2cosωxsin（ωx+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx$
=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
由函数的周期T=π，
∴ω=1，
函数的单调递减时，$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，（k∈Z），
∴函数的单调递减区间$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]$
（2）由$g（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）$
=$sin[2（x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{2}]+sin（x-\frac{π}{6}）$
=$cos2（x-\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）$
=$1-2si{n}^{2}（x-\frac{π}{6}）+sin（x-\frac{π}{6}）$
设$sin（x-\frac{π}{6}）=t$则：g（x）=1-2t²+t，-1≤t≤1
由二次函数图象可知：函数在x=$\frac{1}{4}$取最大值为$\frac{9}{8}$，当x=-1时取最小值为-2；
∴函数的取值范围为[-2，$\frac{9}{8}$]

点评 本题考查了积化和差公式，求三角函数的周期，利用诱导公式转换成相同函数的不同次幂的形式，再构造二次函数，求二次函数的值域，构造二次函数时要注意，函数的定义域的取值范围．属于中档题．