Question

设f（x）=2^x+

a

2x

-1（a为常数）
（1）当a＜0时，证明f（x）在R上是增函数；
（2）当a=0时，若函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数y=g（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用单调性的定义和已知指数函数的单调性，可证明出f（x）在R上是增函数；（2）可利用图象的对称性，得到相应的点的对称，在原函数图象上任取一点，利用代入法求出对称的点的轨迹，即函数y=g（x）的解析式．

解答： 解：（1）当a＜0时，
在R上任取两个自变量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（₂）-f（x₁）=2x2+

a

2x2

-1-（2x1+

a

2x1

-1）
=（2x2-2x1）+

a(2x1-2x2)

2x1•2x2

．
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，2x2＞0，2x1＞0，2x1-2x2＜0．
又∵a＜0，
∴a（2x1-2x2）＞0，
∴f（₂）-f（x₁）＞0，
∴f（₂）＞f（x₁）．
∴当a＜0时，f（x）在R上是增函数．
（2）当a=0时，f（x）=2^x-1，
在y=f（x）的图象上任了一点p（x₀，y₀），
记点p（x₀，y₀）关于直线x=1对称的点为Q（x′，y′），
则有：

x0+x′=2 y0=y′

，
即

x0=2-x′ y0=y′

．
又∵y₀=2 x0-1，
∴y′=2^2-x′-1，
即y=2^2-x-1，
∴g（x）=2^2-x-1．

点评：本题考查了函数单调性和奇偶性，本题有一定的知识面和运算量，属于中档题．