Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为（2

2

，0），且过点（2

3

，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3

2

．若点P（x₀，2）满足|

PA

|=|

PB

|，求x₀的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知得半长轴长和半焦距，进一步得到b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得m的范围，再利用|AB|=3

2

求得m的值．结合椭圆可得点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．
然后由求得的m的值分类求得AB的中垂线方程，进一步得到x₀的值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a=2

3

，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=4，
∴椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

，得4x²+6mx+3m²-12=0  ①
∵直线l与椭圆C交于不同两点A、B，
∴△36m²-16（3m²-12）＞0，得m²＜16．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两根，
则x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-12

4

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

- 3 4 m2+12

．
又由|AB|=3

2

，得-

3

4

m2+12=9，解之m=±2．
据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．
设AB的中点为E（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，
当m=2时，E（-

3

2

，

1

2

）．
∴此时，线段AB的中垂线方程为y-

1

2

=-(x+

3

2

)，即y=-x-1．
令y=2，得x₀=-3．
当m=-2时，E（

3

2

，-

1

2

）．
∴此时，线段AB的中垂线方程为y+

1

2

=-(x-

3

2

)，即y=-x+1．
令y=2，得x₀=-1．
综上所述，x₀的值为-3或-1．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求解，要求学生具有较强的计算能力，是压轴题．