Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AB=2．
（1）求证：PB∥平面AFC；
（2）求点E到平面FAC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OF，由已知得OF∥PB，由此能证明PB∥平面AFC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到平面FAC的距离．

解答： （1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD中点，又E是PD中点，
∴OF∥PB，
∵OF?平面AFC，PB?平面AFC，
∴PB∥平面AFC．
（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
E（1，0，0），（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），
D（0，2，0），F（0，1，1），

AE

=（1，0，0），

AF

=（0，1，1），

AC

=（2，2，0），
设平面AFC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AF =y+z=0 n • AC =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
则点E到平面FAC的距离d=

| n • AE |

| n |

=

|1+0+0|

3

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．