Question

已知函数f（x）满足下列关系式：①f（

π

2

）=1，②对于任意的x，y∈R，恒有：2f（x）f（y）=f（

π

2

-x+y）-f（

π

2

-x-y）．
（1）求证：f（0）=0；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）f（x）是以2π为周期的周期函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：灵活利用赋值法，再根据函数的奇偶性和周期性的定义即可证明

解答： 解：（1）令x=y=0，
则2f（0）f（0）=f（

π

2

）-f（

π

2

）=0，
∴f（0）=0，
（2）令x=

π

2

，
则2f（y）f（

π

2

）=f（

π

2

-

π

2

+y）-f（

π

2

-

π

2

-y），
∴2f（y）=f（y）=-f（-y），
即f（y）=-f（-y），
令y=-x，得
f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（3）令y=

π

2

，
则2f（x）f（

π

2

）=f（

π

2

-x+

π

2

）-f（

π

2

-x-

π

2

）．
∴f（x）=f（π-x）=-f（x-π），
再令x=x-π，
∴f（x-π）=-f（x-2π），
∴f（x）=f（x-2π）
∴f（x）是以2π为周期的周期函数．

点评：本题考查了抽象函数奇偶性周期性的判定，主要利用赋值法来解题，属于中档题