Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD：
（Ⅱ）求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；
（Ⅲ）设E为侧棱PC上异于端点的一点，

PE

=λ

PC

，试确定λ的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为

6

3

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）求出平面PBD的一个法向量，利用向量法能求出直线AP与平面PDB所成角的正弦值．
（Ⅲ）设E（x₀，y₀，z₀），由题设知（x₀，y₀，z₀-1）=（0，2λ，-λ），求出平面EBD的法向量，由已知条件，利用向量法能确定确定λ的值，使得二面角E-BD-P的余弦值为

6

3

．

解答： （Ⅰ）证明：∵侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．
又∵∠ADC=90°，即AD⊥CD，
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意知A（1，0，0），B（1，1，0），
C（0，2，0），P（0，0，1），
∴

DB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，1，0)．
∴

DB

•

BC

=0，∴BC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩DB=D，∴BC⊥平面PBD．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面PBD的一个法向量为

BC

=(-1，1，0)，
∵

PA

=(1，0，-1)，
∴cos＜

BC

，

PA

＞=

-1

2 • 2

=-

1

2

，
设直线AP与平面PDB所成角为θ，
则sinθ=

1

2

，
∴直线AP与平面PDB所成角的正弦值为

1

2

．…（7分）
（Ⅲ）解：∵

PC

=(0，2，-1)，又

PE

=λ

PC

，
设E（x₀，y₀，z₀）
则（x₀，y₀，z₀-1）=（0，2λ，-λ）
∴E（0，2λ，1-λ），

DE

=(0，2λ，1-λ)．…（8分）
设平面EBD的法向量为

n

=(a，b，c)，
∵

DB

=(1，1，0)，由

n

•

DB

=0，

n

•

DE

=0，
得

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，…（9分）
令a=-1，则可得平面EBD的一个法向量为

n

=(-1，1，

2λ

λ-1

)，…（10分）
∵二面角E-BD-P的余弦值为

6

3

，
∴

6

3

=|

n • BC

| n |•| BC |

|=

2

2 • 1+1+( 2λ λ-1 )2

，…（11分）
解得λ=

1

3

或λ=-1，…（12分）
又由题意知λ∈（0，1），∴λ=

1

3

．…（13分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的证明，考查参数的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．