Question

已知f(x)=(1+x)α(1+

1

x

)β（x＞0），其中α、β为正常数．
（Ⅰ）当α=β=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若y＞0，求证：(

α+β

x+y

)α+β≤(

α

x

)α(

β

y

)β≤

1

4

[(

α

x

)α+(

β

y

)β]2．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当α=β=1时，求出f（x）的解析式，利用基本不等式，即可求出函数的最小值；
（Ⅱ）求导数，由导数的正负，可得函数的单调性，从而可得函数的最小值，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：当α=β=1时，x＞0，f（x）=（1+x）（1+

1

x

）=x+

1

x

+2≥4，
当且仅当x=

1

x

即x=1时，等号成立   …（3分）
∴当x=1时，f（x）的最小值为4；
（Ⅱ）证明：∵x＞0，其中α、β为正常数，
∴(

α

x

)α＞0，(

β

y

)β＞0，
∴

1

4

[(

α

x

)α+(

β

y

)β]2≥

1

4

[2

( α x )α( β y )β

]2=(

α

x

)α(

β

y

)β…（5分）
又f′(x)=α(1+x)α-1•(1+

1

x

)β+(1+x)α•β(1+

1

x

)β-1•(-

1

x2

)…（6分）
=(1+x)α-1•(1+

1

x

)β-1•[α(1+

1

x

)+(1+x)β(-

1

x2

)]
=(1+x)α-1•(1+

1

x

)β-1•

1+x

x2

(αx-β)…（7分）
由x＞0，α、β为正常数，得(1+x)α-1•(1+

1

x

)β-1•

1+x

x2

＞0
令f′（x）＞0得：x＞

β

α

，令f′（x）＜0得：0＜x＜

β

α

…（8分）
∴f（x）的增函数区间是(

β

α

，+∞)，减函数区间是(0，

β

α

)…（9分）
∴f（x）在x=

β

α

处取得最小值，f(x)min=f(

β

α

)=(

α+β

α

)α(

α+β

β

)β…（10分）
∴f(

β

α

)≤f(

y

x

)（x＞0，y＞0）…（12分）
∴(

α+β

α

)α(

α+β

β

)β≤(

x+y

x

)α(

x+y

y

)β…（13分）
整理得：(

α+β

x+y

)α+β≤(

α

x

)α(

β

y

)β…（14分）
∴(

α+β

x+y

)α+β≤(

α

x

)α(

β

y

)β≤

1

4

[(

α

x

)α+(

β

y

)β]2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导是关键．