Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃和a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）当

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

最大时，求n的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等比数列的性质可知a₁a₅=a₃²，a₂a₈=a₅²化简a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25得到a₃+a₅=5，又因为a₃与a₅的等比中项为2，联立求得a₃与a₅的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；
（2）把a_n代入到b_n=log₂a_n中得到b_n的通项公式，即可得到前n项和的通项s_n；
（3）把s_n代入得到

sn

n

，确定其正负，即可求n的值．

解答： 解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25
又a _n＞0，∴a₃+a₅=5  …（1分）
又a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4  …（2分）
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=

1

2

，a₁=16，∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
b₁=log₂a₁=log₂16=log₂2⁴=4，
∴{b_n}是以b₁=4为首项，-1为公差的等差数列，
∴S_n=

n(9-n)

2

．…（8分）
（3）∵

sn

n

=

9-n

2

，
∴n≤8时，

sn

n

＞0，n=9时，

sn

n

=0，n＞9时，

sn

n

＜0，
∴n=8或9时，

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

最大…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意方法的合理运用．