Question

如图，CD是△ABC中AB边上的高，以AD为直径的圆交AC于点E，一BD为直径的圆交BC于点F．
（Ⅰ）求证：E、D、F、C四点共圆；
（Ⅱ）若BD=5，CF=

16

3

，求四边形EDFC外接圆的半径．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）利用AD，BD是直径，可得∠AED=∠BFD=90°，再证明∠DEC+∠DFC=180°，即可证明：E、D、F、C四点共圆；
（Ⅱ）确定BD是四边形EDFC外接圆的切线，求出BD，同理求出CD，即可求四边形EDFC外接圆的半径．

解答： （Ⅰ）证明：连接ED，FD，
∵AD，BD是直径，∴∠AED=∠BFD=90°，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∴∠DEC+∠DFC=180°，
∴E、D、F、C四点共圆；
（Ⅱ）解：∵∠DEC=90°，
∴CD是四边形EDFC外接圆的直径，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴BD是四边形EDFC外接圆的切线，
∴BD=BF•BC
∵BD=5，CF=

16

3

，
∴BF=3，
同理CD=

20

3

∴四边形EDFC外接圆的半径为

10

3

．

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．