题目内容

设两个向量
e1
，
e2
，满足|
e1
|=1，|
e2
|=1，
e1
，
e2
满足向量
a
=k
e1
+
e2
，
b
=
e1
-k
e2
，若
e1
与
e2
的数量积用含有k的代数式f（k）表示．若|
a
|=
3
|
b
|．
（1）求f（k）；
（2）若
e1
与
e2
的夹角为60°，求k值；
（3）若
a
与
b
的垂直，求实数k的值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）由|
a
|=
3
|
b
|得到
a
2=3
b2
，再用向量
e1
，
e2
表示展开计算；
（2）由（1）得到关于k的方程解之；
（3）利用向量垂直数量积为0，得到k的等式解之．
解答： 解：（1）因为|
a
|=
3
|
b
|，
所以
a
2=3
b2
，即（k
e1
+
e2
）2=3（
e1
-k
e2
）2，
所以k2
e1
2+2k
e1
•
e2
+
e2
2=3
e1
2-6k
e1
•
e2
+3k2
e2
2，因为|
e1
|=1，|
e2
|=1，所以k2+2k
e1
•
e2
+1=3-6k
e1
•
e2
+3k2，
整理得8k
e1
•
e2
=2k2+2，
所以
e1
•
e2
=f（k）=
k2+1
4k
（k≠0）；…（4分）
（2）因为
e1
与
e2
的夹角为60°，所以
e1
•
e2
=
1
2
，即f（k）=
k2+1
4k
=
1
2
，解得k=1；…（8分）
（3）因为
a
与
b
的垂直，所以（k
e1
+
e2
）•（
e1
-k
e2
）=0，整理得（1-k2）
e1
•
e2
=0，
又
e1
•
e2
=f（k）=
k2+1
4k
≠0，
所以1-k2=0．解得k=±1．…（12分）
点评：本题考查了向量的模与向量的平方得关系以及向量数量积的运用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设全集为U，若存在D1与D2（D1≠D2），D1⊆U，D2⊆U，使得y=f（x），x∈D1与y=f（x），x∈D2的值域相同，则称这两个函数为一对“同族函数“．现在U=[0，2π），f（x）=sinx，值域为[
1
2
，
3
2
]的“同族函数“共有（　　）对．
A、6对B、15对
C、36对D、1对
在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（3，0）作直线l，直线l依次交曲线C于不同两点E、F，设
DE
=λ
DF
，求实数λ的取值范围．
在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；
（3）当
s1
1
+
s2
2
+
s3
3
+…+
sn
n
最大时，求n的值．
已知函数f（x）=ex+x2-x，若对任意x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围为
 
．
若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）证明：函数f（x）=3x具有性质M，并求出对应的x0的值；
（2）已知函数h（x）=lg
a
x2+1
具有性质M，求a的取值范围．
已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式对?x∈R，ax2-ax+1＞0恒成立，若命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．
已知
e1
，
e2
是互相垂直的两个单位向量，若向量
a
=t•
e1
+
e2
与向量
b
=
e1
+t•
e2
是的夹角是钝角，则实数t的取值范围是
 
．
函数f（x）=2cos2x-
3
sin2x（x∈R）的最小正周期和最小值分别为（　　）
A、2π，3B、2π，-1
C、π，3D、π，-1

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