Question

若函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，1]
• C、（-1，+∞）
• D、[-1，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：解法1：f′（x）=

1

x

-ax-2=

1-ax2-2x

x

化为ax²+2x-1＞0有正的实数解，由方程的观点去求解；
解法2：f′（x）=

1

x

-ax-2=

1-ax2-2x

x

化为a＞

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）内有实数解，求

1

x2

-

2

x

的值域．

解答： 解：解法1：f′（x）=

1

x

-ax-2=

1-ax2-2x

x

，
由题意知f′（x）＜0有实数解，
∵x＞0，
∴ax²+2x-1＞0有正的实数解．
当a≥0时，显然满足；
当a＜0时，只要△=4+4a＞0，
∴-1＜a＜0，
综上所述，a＞-1．
解法2：f′（x）=

1

x

-ax-2=

1-ax2-2x

x

，
由题意可知f′（x）＜0在（0，+∞）内有实数解．
即1-ax²-2x＜0在（0，+∞）内有实数解．
即a＞

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）内有实数解．
∵x∈（0，+∞）时，

1

x2

-

2

x

=（

1

x

-1）²-1≥-1，∴a＞-1．
故选C．

点评：本题考查了导数与函数的单调性之间的关系，可从方程的观点与函数的观点解答，属于中档题．