题目内容

在2010年的人口普查中，某市人中普查办公室为召开普查工作意见反馈会，用分层抽样的方法，从某住宅小区中抽取A、B、C、D四个年龄段的居民共50人．如图是该小区这四个年龄段的人数条形图．
（1）应从A、B、C、D四个年龄段中各抽取多少人？
（2）从这50人中再随机抽取2人，求这2人恰好是不同年龄段的概率；
（3）从这50人属于A、C两个年龄段的居民中再随机抽取3人，用ξ表示抽取的是A年龄段的人数，求ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法
专题：概率与统计
分析：（1）由该小区A，B，C，D这四个年龄段的人数条形图分别求出A、B、C、D各年龄段的人数，并求出四个年龄段的总人数，由此根据抽取A、B、C、D四个年龄段的居民共50人，能求出应从A、B、C、D四个年龄段中各抽取多少人．
（2）先求出从这50人中再随机抽取2人，这2人恰好是相同年龄段的概率，再用对立事件的概率公式求出这2人恰好是不同年龄段的概率．
（3）由题设知ξ=0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答： 解：（1）由该小区A，B，C，D这四个年龄段的人数条形图知：
A年龄段有100人，B年龄段有200人，C年龄段有50人，D年龄段有150人，
共有100+200+50+150=500人，
∵抽取A、B、C、D四个年龄段的居民共50人，
∴应从A年龄段抽取
50
500
×100=10人，
应从B年龄段抽取
50
500
×200=20人，
应从C年龄段抽取
50
500
×50=5人，
应从A年龄段抽取
50
500
×150=15人，
即应从A、B、C、D四个年龄段中各抽取10人，20人，5人，15人．
（2）∵从A、B、C、D四个年龄段中各有10人，20人，5人，15人，
∴从这50人中再随机抽取2人，这2人恰好是相同年龄段的概率：
P1=
C
2
10
+
C
2
20
+
C
2
5
+
C
2
15
C
2
50
=
2
7
，
∴这2人恰好是不同年龄段的概率：
P=1-P1=1-
2
7
=
5
7
．
（3）A，C两个年龄段共有10+5=15人，从中任取3人，ξ表示A年龄段中取到的人数，
则ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=
C
0
10
C
3
5
C
3
15
=
10
455
=
2
91
，
P（ξ=1）=
C
1
10
C
2
5
C
3
15
=
100
455
=
20
91
，
P（ξ=2）=
C
2
10
C
1
5
C
3
15
=
225
455
=
45
91
，
P（ξ=3）=
C
3
10
C
0
5
C
3
15
=
120
455
=
24
91
，
∴ξ的分布列为：
ξ  0  1  2  3
P  
2
91
  
20
91
  
45
91
  
24
91
Eξ=0×
2
91
+1×
20
91
+2×
45
45
+3×
24
91
=2．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，解题时要合理运用排列组合知识．
练习册系列答案
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A、
1
12
B、
1
10
C、
1
6
D、
1
4
△ABC中，角B不是最大角，A，B，C的对边分别为a，b，c．若
3
a=2bsinA且sinA，sinB，sinC成等差数列，判断△ABC的形状．
设向量
a
=(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，
b
=(-
1
2
，
3
2
)，且
a
与
b
不共线，
（Ⅰ）求证：
a
+
b
⊥
a
-
b
；
（Ⅱ）若向量
3
a
+
b
与
a
-
3
b
的模相等，求角α．
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已知A为△ABC的内角，且sinA=
1
2
，则A=
 
．
复数z=
2
1+i
的虚部为
 
．
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A、AB1∥平面BDC1
B、A1C⊥平面BDC1
C、直三棱柱的体积V=4
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3
π

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