Question

过抛物线y=x²上一动点P（t，t²） （0＜t＜1）作此抛物线的切线l，抛物线y=x²与直线x=0、x=1及切线l围成的图形的面积为S，则S的最小值为（　　）

• A、

  1

  12

• B、

  1

  10

• C、

  1

  6

• D、

  1

  4

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值．

解答： 解：∵y=f（x）=x²，
∴f'（x）=2x，
即切线l在P处的斜率k=f'（t）=2t，
∴切线方程为y-t²=2t（x-t）=2tx-2t²，
即y-t²=2t（x-t）=2tx-2t²，
y=2tx-t²，
作出对应的图象，
则曲线围成的面积S=

∫

1 0

(x2-2tx+t2)dx=(

1

3

x3-tx2+t2x)

|

1 0

=t2-t+

1

3

=(t-

1

2

)2+

1

12

，
∵0＜t＜1，
∴当t=

1

2

时，面积取的最小值为

1

12

．
故选：A．

点评：本题主要考查积分的应用，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分公式即可得到面积的最小值，考查学生的计算能力．