题目内容
设向量
=(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，
=(-
，
)，且
与
不共线，
（Ⅰ）求证：
+
⊥
-
；
（Ⅱ）若向量
+
与
-
的模相等，求角α．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
（Ⅰ）求证：
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）若向量
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
考点：平面向量数量积的运算,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）由题意可得
+
和
-
的坐标，作数量积可得（
+
）•（
-
）=0，可得垂直；（Ⅱ）由题意可得（
+
）2=（
-
）2，又可得|
|=|
|=1，代入可得
•
=0，由三角函数的知识结合α的范围可得．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：（Ⅰ）由题意可得
+
=（cosα-
，sinα+
），
-
=（cosα+
，sinα-
），
∴（
+
）•（
-
）=cos2α-
+sin2α-
=0
∴
+
⊥
-
；
（Ⅱ）∵向量
+
与
-
的模相等，
∴（
+
）2=（
-
）2，
∴
2-
2+2
•
=0，
又∵|
|=
=1，|
|=
=1，
∴1-1+2
•
=0，解得
•
=0，
∴-
cosα+
sinα=0，
∴tanα=
，又0≤α＜2π，
∴α=
，或
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅱ）∵向量
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
∴（
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
∴
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
又∵|
| a |
| cos2α+sin2α |
| b |
(-
|
∴1-1+2
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴tanα=
| ||
| 3 |
∴α=
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及向量的模长和三角函数，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=（cosx-m）2+1在cosx=-1时取得最大值，在cosx=m时取得最小值，则实数m的取值范围是（ ）
| A、m≤-1 | B、m≥1 |
| C、0≤m≤1 | D、-1≤m≤0 |
将函数y=cos(2x-
π)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（ ）
| 4 |
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
在2010年的人口普查中，某市人中普查办公室为召开普查工作意见反馈会，用分层抽样的方法，从某住宅小区中抽取A、B、C、D四个年龄段的居民共50人．如图是该小区这四个年龄段的人数条形图．