Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是（　　）

• A、AB₁∥平面BDC₁
• B、A₁C⊥平面BDC₁
• C、直三棱柱的体积V=4
• D、直三棱柱的外接球的表面积为4

  3

  π

Answer 1

考点：简单空间图形的三视图

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：利用面面平行的性质判断A是否正确；
根据线面垂直的判定定理证明A₁C⊥平面BDC₁，
利用体积公式计算棱柱的体积，可判断C是否正确；
根据正方体的外接球半径，求得外接球的体积，由此判断D是否正确．

解答： 解：取A₁C₁中点O，连接OB₁，AO，∵D为AC的中点，∴四边形DAOC₁为平行四边形，
∴AO∥C₁D，又四边形BDOB₁为平行四边形，∴BD∥OB₁，∴平面AOB₁∥平面BDC₁，AB₁?平面AOB₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
∵由三视图知A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥BC₁，CB₁⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁B₁C，∴BC₁⊥A₁C；
∵由侧视图知△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴A₁C⊥BD，又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面BDC₁．故B正确；
由三视图知：直三棱柱的高为2，底面是直角边长为2的等边三角形，∴体积V=

1

2

×2×2×2=4，∴C正确；
由直三棱柱的结构特征知，直三棱柱为正方体的一半，∴外接球的半径R=

3×22

2

=

3

，
∴外接球的表面积S=4π×3=12π，∴D错误；
故选D．

点评：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，考查了棱柱的体积计算及棱柱的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与运算能力．