Question

不等式|x-2|≤m的解集为{x|-4≤x≤8}，又已知a，b，c∈R，且a+2b+3c=m，求a²+4b²+9c²的最小值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：选作题,不等式

分析：根据不等式|x-2|≤m的解集为{x|-4≤x≤8}，求出m，利用柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）（a²+4b²+9c²）=3（a²+4b²+9c²），化简得a²+4b²+9c²≥12，由此可得a²+4b²+9c²的最小值为12．

解答： 解：不等式|x-2|≤m 的解集为{x|2-m≤x≤2+m}，
又不等式|x-2|≤m的解集为{x|-4≤x≤8}，所以m=6，
可知a+2b+3c=6，根据柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）[a²+（2b）²+（3c）²]
化简得6²≤3（a²+4b²+9c²），即36≤3（a²+4b²+9c²）
∴a²+4b²+9c²≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=

2

3

时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=

2

3

时，a²+4b²+9c²的最小值为12

点评：本题给出等式a+2b+3c=m，求式子a²+4b²+9c²的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．