Question

设函数f（x）=lnx+x²+ax，g（x）=f（x）-x²+1，当a=-1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立，并证明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，（n∈N，n≥2）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出g（x）的导数，求出单调区间，得到极值，判断也为最值，进而证得g（x）≤0在x＞0恒成立；
（2）由（1）可得lnx≤x-1，然后转化成n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1，从而得到

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

，再累积加，最后利用裂项求和法得到不等式的右边．

解答： 证明：（1）由于g（x）=f（x）-x²+1=lnx-x+1，（x＞0），g′（x）=

1

x

-1，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增，
则g（x）在x=1处取得极大值，也为最大值，且为0，
则g（x）≤0在x＞0恒成立；
（2）由（1）得g（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．因此lnx≤x-1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn²≤n²-1．则

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

．
所以

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤（1-

1

22

）+（1-

1

32

）+…+（1-

1

n2

）
=（n-1）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
＜（n-1）-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=（n-1）-（

1

2

-

1

n+1

）=

2n2-n-1

2(n+1)

．
所以结论成立．

点评：本题主要考查了了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于难题．