Question

根据下列条件求双曲线方程：
（1）与双曲线

x2

9

-

y2

16

=1有共同的渐近线，且过点（-3，2

3

)
（2）已知双曲线的离心率e=

5

2

，且与

x2

13

+

y2

3

=1有共同的焦点，求该双曲线的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用已知的双曲线与所求双曲线渐近线相同，设双曲线

x2

9

-

y2

16

=k，代入点的坐标，即可求解．
（2）求出椭圆

x2

13

+

y2

3

=1的焦点坐标，据题意得到双曲线参数c的值，根据双曲线的离心率，得到参数a的值，得到双曲线的方程．

解答： 解：（1）与双曲线

x2

9

-

y2

16

=1有共同渐近线的双曲线并且经过点(-3，2

3

)，则可设双曲线

x2

9

-

y2

16

=k．
把点(-3，2

3

)代入上述方程得

9

9

-

12

16

=k，解得k=

1

4

．
所求的方程为

4x2

9

-

y2

4

=1．
（2）∵椭圆

x2

13

+

y2

3

=1的焦点坐标为（-

10

，0）和（

10

，0），
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则c=

10

，
∵双曲线的离心率等于

5

2

，即

c

a

=

5

2

，∴a=2

2

．
∴b²=c²-a²=2；
故所求双曲线方程为

x2

8

-

y2

2

=1．

点评：本题考生对圆锥曲线的基础知识的把握，由已知条件正确设出所求的双曲线的方程是解答的关键．