Question

判断函数f（x）=

x+1

x-1

在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：先将f（x）变成：f（x）=1+

2

x-1

，通过解析式即可判断出函数f（x）是减函数，根据单调性的定义证明即可．

解答： 解：f（x）=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

；
通过解析式可以看出，当x增大时，f（x）减小，所以f（x）为减函数，下面用定义证明：
证明：设x₁＜x₂＜0，则：
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
∵x₁＜x₂＜0，∴x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．

点评：考查函数单调性的定义，以及根据函数解析式判断函数单调性的方法，及根据单调性的定义证明函数的单调性．