Question

14．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{AB}}|$，则向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据条件即可得出△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，∠ACB=30°，这样便可求出向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影．

解答 解：根据条件$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}$，O为△ABC的外心；
∴AO⊥BC，且AO平分BC，如图所示，则：
AB=AC；
$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OB}|=1$；
∴△ABO为等边三角形，∠BAO=60°；
∴AB=AC=1，∠BAC=120°；
∴∠ACB=30°；
∴$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影为$|\overrightarrow{CA}|cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选C．

点评 考查三角形外心的概念，向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，相反向量的概念，以及向量投影的定义．