Question

4．已知F₁、F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$．求△PF₁F₂的面积（　　）

• A． 9
• B． 6
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，在焦点三角形中，利用椭圆定义及勾股定理求得|PF₁||PF₂|，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：如图，

由椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1（a＞b＞0），得a²=16，b²=9，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{7}$．
∵$\overline{P{F}_{1}}$⊥$\overline{P{F}_{2}}$，∴$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=28$，
即$（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}P{F}_{2}|=28$，
则$|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{4{a}^{2}-28}{2}=\frac{64-28}{2}=18$．
则${S}_{△P{F}_{1}F2}=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{1}{2}×18=9$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在解焦点三角形中的应用，是中档题．