Question

3．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当时x≥0，f（x）=x²+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≥x+2．

Answer 1

分析 （1）由题意利用函数为奇函数，求得当x＜0时函数的解析式，从而得出结论．
（2）分类讨论，求得不等式的解集．

解答 解：（1）∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，当时x≥0，f（x）=x²+2x，
当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=x²-2x，
∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-x²≤2x，∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x（{x≥0}）\\-{x^2}+2x（{x＜0}）\end{array}\right.$．
（2）当x≥0时，原不等式为x²+2x≥x+2，解得x≥1，或x≤-2，从而x≥1；
当x＜0时，原不等式为-x²+2x≥x+2，此不等式的解集为∅．
综上，原不等式的解集为{x|x≥1}．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，解不等式，属于中档题．