Question

4．已知正实数a，b 满足a+3b=7，则$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{2+b}$ 的最小值为$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$．

Answer 1

分析 构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：正实数a，b，即a＞0，b＞0；
∵a+3b=7，
∴a+1+3（b+2）=14
则$\frac{a+1}{14}+\frac{3（b+2）}{14}=1$，
那么：（$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{2+b}$ ）（$\frac{a+1}{14}+\frac{3（b+2）}{14}$）=$\frac{1}{14}+\frac{12}{14}+（\frac{4（a+1）}{14（2+b）}+\frac{3（b+2）}{14（a+1）}）$
≥$\frac{13}{14}+2×\frac{\sqrt{12}}{14}$=$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$
当且仅当2（a+1）=$\sqrt{3}$（b+2）时，即取等号．
∴$\frac{1}{1+a}$+$\frac{4}{2+b}$ 的最小值为：$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$，
故答案为：$\frac{13+4\sqrt{3}}{14}$．

点评 本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题．