题目内容
已知正△AOB顶点O位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，已知△AOB周长12
，求抛物线方程．
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考点：抛物线的标准方程
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由已知得A，B点关于x轴对称，推导出A（6p，2
p），B（6p，-2
p），再由△AOB周长12
，能求出抛物线方程．
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解答：
解：∵抛物线y2=2px关于x轴对称，
∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，
另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，
∴A，B点关于x轴对称，
∴直线OA倾斜角为30°，斜率为
，
∴直线OA方程为y=
x
与抛物线方程联立，得
x2=2px，
∴x=0或x=6p
∴A（6p，2
p），B（6p，-2
p），
∴|AB|=|OA|=|OB|=4
p，
∵△AOB周长12
，
∴12
p=12
，解得p=1．
∴抛物线方程为y2=2x．
∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，
另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，
∴A，B点关于x轴对称，
∴直线OA倾斜角为30°，斜率为
| ||
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∴直线OA方程为y=
| ||
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与抛物线方程联立，得
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∴x=0或x=6p
∴A（6p，2
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∴|AB|=|OA|=|OB|=4
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∵△AOB周长12
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∴12
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∴抛物线方程为y2=2x．
点评：本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的只有（ ）
A、f（x）=
| ||
| B、f（x）=|x| | ||
| C、f（x）=2 | ||
| D、f（x）=x2 |