Question

已知a₁=1，a_n+1+a_n=2ⁿ，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可以先根据题中所给的递推关系，构了造一个新的等比数列，得到新数列的一个通项，从而求出原数列的通项公式，即本题结论．

解答： 解：∵a_n+1+a_n=2ⁿ，
∴an+1-

1

3

•2n+1=-(an-

1

3

•2n)．
∵a₁=1，
∴a1-

1

3

×21=

1

3

．
∴数列{a_n-

1

3

•2n}是以

1

3

为首项，公比为-1的等比数列．
∴a_n-

1

3

•2n=

1

3

×(-1)n-1，
即a_n=

1

3

•2n+

1

3

×(-1)n-1．

点评：本题考查的是用构造法求数列通项，考查了化归转化的数学思想，本题难度适中，属于中档题．